Renato J. Costa Valladares, Professor e Escritor, é Doutor em Ciências e Mestre em Matemática.
RIO [ ABN NEWS ] — O automóvel é o grande divulgador da velocidade e do deslocamento (quilometragem) que são medidos por velocímetro e odômetro. Este é um assunto conhecido há mais de 100 anos, por bilhões de usuários do automóvel ao redor do Mundo.
Suponhamos que um carro se desloque do instante s (p/ex: 9 horas) até o instante t (p/ex: 12 horas). Se o motorista quiser calcular o deslocamento, ele deve anotar em s, o deslocamento F(s), na hora da partida (p/ex: F(s) = 51.537km). Lê o deslocamento F(t), na chegada (p/ex: F(t) = 51.537km) e faz a subtração F(t) – F(s) do deslocamento da chegada menos o da partida. De acordo com os exemplos acima o deslocamento foi de (51.537 – 51.327 =) 210km.
Como se vê, a subtração F(t) – F(s) é um trabalho simples, podendo ser calculada por bilhões de pessoas, incluindo crianças da escola básica.
Como a partida foi às 9 horas e a chegada foi às 12, a viagem durou (12 – 9 =) 3 horas. Dividindo o deslocamento pelo tempo, vemos que a velocidade média, naquela viagem, foi (210 -:- 3 =) 70km/h. Em geral, voltando aos instantes s, tacima, segue-se que t – s é o tempo da viagem; o deslocamento é F(t) – F(s) e a velocidade média é a divisão ((F(t) – F(s)) -:- (t – s).
A esta altura o leitor deve estar confuso, pois a velocidade média é obtida por relógio e calculadora. Por outro lado a velocidade dos carros é medida por velocímetros, que são aparelhos diferente de relógios e calculadoras. Isto é verdade. O velocímetro mede a velocidade instantânea que é diferente da velocidade média descrita acima.
O ponto de partida para a velocidade instantânea é a divisão ((F(t) – F(s)) -:- (t – s), citada acima. A seguir t é fixado e faz sse aproximar de t. Cria-se desta forma a chamada razão incremental. Dentro de condições adequadas (habitualmente presentes no contexto do automóvel) obtém-se a função derivada de F, cuja notação é f. Por motivos de ordem técnica, este procedimento não será feito neste artigo. Entretanto o leitor que quiser melhores informações pode entrar em contato com o autor através do e-mail ao fim do artigo.
Da mesma forma que relógios e calculadoras fazem medições usando operações básicas, o velocímetro mede velocidade usando a operação de derivada. Evidentemente estes três aparelhos são construídos por profissionais devidamente habilitados.
A derivada tem uma operação inversa chamada primitiva. Isto é, as funções f e F acima são tais que f é derivada de F e F é primitiva de f. Como no movimento dos carros (e dos demais movimentos) f é velocidade e F é deslocamento, estes dois conceitos contextualizados no movimento ultrapassam este limite e passam a fazer parte de um texto matemático abrangente que pode ser usado em muitas situações. Este é o caso de área, volume, custo de estoque, custos marginal e total, trabalho, e muitos outros tópicos.
A subtração F(t) – F(s) no início do artigo era restrita ao automóvel e se expressava em termos da velocidade f. O tratamento matemático usado no texto citado acima possibilitou a identificação de deslocamentos com primitivas e velocidades com derivadas.
O texto assim obtido é uma parte expressiva do Cálculo, conhecida como “teorema fundamental do Cálculo”. Este teorema é uma igualdade em que um dos membros é justamente a subtração F(t) – F(s).
Isto é, uma das partes deste teorema é uma subtração que há mais de 100 anos é feita por bilhões de usuários de automóvel. Dentre eles há muitas crianças da escola básica. Isto simplifica muito o trabalho do professor e a aprendizagem do estudante.
Este artigo faz parte de um trabalho recente que ainda está pouco difundido. Embora todo professor de Cálculo saiba que a subtração F(t) – F(s) é parte do teorema fundamental do Cálculo, muitos deles ainda não foram informados que o assunto pode ficar muito simples se for abordado pelo modelo do automóvel. Hoje ainda é usual abordar estes estudos por modelos geométricos bem mais complexos. Entretanto a quantidade de professores que estão sendo informados sobre o contexto do carro, está crescendo.
Nós acreditamos que rapidamente mais e mais colegas ficarão informados. Se o leitor quiser pode solicitar mais informações, com o autor, pelo e-mail rjcvalladares@gmail.com
